Dibuja una cuadrícula en una hoja. Pon un punto en la esquina superior izquierda y otro en la esquina inferior derecha. Una hormiga quiere ir de un punto al otro por las líneas, y solo puede avanzar hacia la derecha o hacia abajo. ¿Cuántos caminos distintos puede tomar?
Parece una pregunta pequeña. En realidad es un acertijo que crece con tu hijo: primero dos caminos, luego seis, luego veinte, con un patrón muy limpio escondido debajo. Solo hacen falta papel cuadriculado y unos lápices de colores.
Las reglas
- Se camina por las líneas de la cuadrícula, desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha.
- Solo hay dos movimientos: un paso a la derecha o un paso hacia abajo. Nunca a la izquierda, nunca hacia arriba.
- Dos caminos son distintos si se diferencian en al menos un paso.
¿Por qué solo derecha y abajo? Sin esa regla, la hormiga podría dar vueltas sin parar y no se acabaría nunca de contar.
Empezar muy pequeño
- Un cuadrado. Hay dos caminos: derecha y luego abajo, o abajo y luego derecha. Repasad cada uno con un color.
- Dos cuadrados juntos. Deja que tu hijo busque. Hay tres caminos. Una pregunta que ayuda: "¿En qué esquina baja la hormiga?"
- Dos por dos. Pide primero una estimación y luego dibujad. Hay seis.
Un consejo práctico: dibujad la misma cuadrícula pequeña varias veces y marcad un camino en cada copia. Seis caminos en un solo dibujo se enredan enseguida.
Contar sin perderse
Aquí aparece el problema de siempre: un camino se olvida y otro se cuenta dos veces. Hay dos herramientas que ayudan.
Escribir cada camino con flechas. Una flecha por paso. En la cuadrícula de dos por dos, todos los caminos tienen dos pasos a la derecha y dos hacia abajo, así que cada camino es una fila de cuatro flechas.
Hacer la lista con orden. Primero los caminos que empiezan con un paso a la derecha, después los que empiezan con un paso hacia abajo:
| Empieza con → | Empieza con ↓ |
|---|---|
| → → ↓ ↓ | ↓ → → ↓ |
| → ↓ → ↓ | ↓ → ↓ → |
| → ↓ ↓ → | ↓ ↓ → → |
Tres y tres: seis caminos, y se ve fácilmente que no falta ninguno. Muchos niños notan que la columna de la derecha es la de la izquierda con las flechas cambiadas.
El truco de los números
Para los mayores hay una forma de contar sin dibujar cada camino. En cada cruce se escribe de cuántas maneras puede llegar la hormiga hasta allí.
- Todos los cruces del borde de arriba y del borde izquierdo llevan un 1: solo se llega yendo recto.
- A cualquier otro cruce, la hormiga llega desde arriba o desde la izquierda. Por eso su número es el de arriba más el de la izquierda.
- Se rellena la cuadrícula fila a fila. El número de la esquina inferior derecha es la respuesta.
En la cuadrícula de dos por dos, los nueve cruces quedan así:
| 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
El 6 coincide con la lista de flechas. Dos métodos distintos y la misma respuesta: así es como uno se queda tranquilo. Ahora deja que tu hijo pruebe con la de tres por tres. En la última esquina debe salir 20.
Subir la dificultad
- Una cuadrícula más larga. Tres cuadrados de ancho y dos de alto dan 10 caminos.
- Calle en obras. Tachad un trozo de línea. En la de dos por dos, cerrad el primer paso a la derecha: solo quedan los tres caminos que empiezan bajando.
- Una parada. La hormiga tiene que pasar por el cruce del centro para recoger una miga. Hay dos maneras de llegar al centro y dos de seguir desde allí: 2 × 2 = 4 caminos.
- Cambio de papeles. Tu hijo dibuja una cuadrícula con una calle cerrada y tú cuentas.
| Edad aproximada | Qué probar |
|---|---|
| 6–7 | Un cuadrado y luego dos juntos; cada camino con su color |
| 8–9 | Dos por dos; escribir los caminos con flechas y hacer la lista con orden |
| A partir de 10 | El truco de los números; tres por tres; calles en obras y paradas |
Las edades son solo orientativas y cada niño es distinto. A quien hoy no le interesa puede gustarle dentro de unos meses.
Qué practica tu hijo
- Contar con orden, para que no falte nada y nada se cuente dos veces.
- Descubrir un patrón y comprobarlo, en lugar de fiarse de la primera suposición.
- Resolver un problema de dos maneras y comparar las respuestas.
En Dologi, los acertijos "El camino más corto" del tema Matemáticas muestran un pequeño mapa de caminos: los niños prueban varias rutas de la casa al árbol, suman los pasos de cada una y comparan. Es el mismo hábito de mirar más allá del primer camino que se nos ocurre.
En resumen
- La regla: por las líneas, solo a la derecha y hacia abajo, de esquina a esquina.
- Empezad con un cuadrado (2 caminos), luego dos (3) y luego dos por dos (6).
- Escribid los caminos con flechas y haced la lista con orden para que no falte ninguno.
- Para los mayores: en cada cruce, el número de maneras de llegar es el de arriba más el de la izquierda.
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