Quatre fermiers se partagent un champ carré. Chacun veut une part exactement de la même forme et de la même taille que les autres. Comment faire le partage ?
La plupart des enfants tracent vite un trait horizontal et un trait vertical. Vient alors la question qui transforme un petit exercice en véritable énigme : « Peux-tu trouver une autre façon ? » Soudain, il n'y a plus une réponse mais plusieurs, et chacune doit être vérifiée. Il suffit de papier, d'un crayon et de ciseaux.
Ce que « égal » veut dire ici
Dans ces énigmes, deux parts sont égales quand l'une se pose exactement sur l'autre. On peut tourner le morceau ou le retourner, mais rien ne doit dépasser.
C'est pour cela que les ciseaux comptent. Un dessin peut avoir l'air juste et être faux. Découper les morceaux et les superposer tranche la question.
Commencer avec un carré de papier
Découpez plusieurs carrés de papier de même taille, pour que chaque idée ait son propre carré.
Deux parts égales. En pliant bord contre bord, on obtient deux rectangles. En pliant coin contre coin, deux triangles. Cela fait déjà deux façons.
Quatre parts égales. En voici quatre. Les deux premières sont sur l'image de couverture.
| Comment découper | Les quatre parts |
|---|---|
| Un trait horizontal et un trait vertical | Quatre petits carrés |
| Les deux diagonales | Quatre triangles |
| Trois traits régulièrement espacés | Quatre bandes |
| En deux, puis chaque moitié d'un coin à l'autre | Quatre triangles allongés |
Laissez votre enfant chercher avant d'en montrer une seule. Une façon nouvelle, trouvée seul, vaut mieux que quatre façons recopiées.
Plier et superposer pour vérifier
- Plier avant de couper. Un pli trouve le milieu sans règle.
- Superposer après avoir coupé. Si les bords coïncident tout autour, les parts sont égales.
- Regarder ce qui dépasse. Quand les morceaux ne coïncident pas, ce qui dépasse montre ce qu'il faut changer.
Une découverte pour les plus grands : sur un rectangle, n'importe quelle coupe droite passant par le centre donne deux parts égales. Essayez une coupe en biais, puis faites faire un demi-tour à un morceau et posez-le sur l'autre.
Un champ plus difficile : la forme en L
Sur du papier quadrillé, dessinez un L formé de trois grands carrés : deux côte à côte, et un au-dessus de celui de gauche. Donnez à chaque grand carré quatre petits carreaux de large, et découpez-en plusieurs exemplaires.
- Trois parts égales. Facile : les trois carrés.
- Deux parts égales. Une coupe droite du coin extérieur du L jusqu'au coin intérieur. Les deux morceaux sont comme des images dans un miroir : il faut en retourner un avant de les superposer.
- Quatre parts égales, toutes de la même forme. C'est une énigme réputée difficile. Laissez du temps.
Un indice pour la troisième : tracez une croix dans chacun des trois grands carrés. Le champ compte maintenant douze carrés moyens, donc chacune des quatre parts doit en avoir trois. La réponse : quatre petits L. L'un se loge dans le coude du grand L, et les trois autres s'emboîtent autour, un à chaque extrémité et un dans le coin extérieur.
Même quantité, forme différente
Voici une question pour les enfants d'une dizaine d'années et plus. Coupez un carré en deux de haut en bas. Coupez la moitié gauche en travers, en deux petits carrés. Coupez la moitié droite dans la longueur, en deux longues bandes.
Les quatre parts sont-elles égales ? Elles ne se superposent pas : deux sont des carrés, deux sont des bandes. Mais coupez une bande en deux, posez les deux moitiés côte à côte, et elles forment exactement le petit carré.
« Égal » a donc deux sens : la même forme et la même taille, ou la même quantité de papier. Des fermiers qui se partagent un champ se contenteraient peut-être du second. Les énigmes ci-dessus demandent le premier.
Quoi essayer à chaque âge
| Âge indicatif | À essayer |
|---|---|
| 4–5 ans | Plier un carré en deux de deux façons ; couper et superposer |
| 6–7 ans | Quatre parts égales de deux ou trois façons ; « trouve une autre façon » |
| 8–9 ans | Le L en deux et en trois ; les coupes passant par le centre d'un rectangle |
| 10 ans et plus | Le L en quatre ; la même quantité avec une forme différente |
Ces âges ne sont que des repères, et chaque enfant est différent.
Dans Dologi, les énigmes « Plie et perce » du thème Espace montrent une feuille pliée étape par étape, puis percée. L'enfant choisit à quoi ressemble la feuille une fois rouverte : le même va-et-vient entre plier et prévoir.
En résumé
- Des parts égales se posent exactement l'une sur l'autre : découpez-les et superposez-les pour vérifier.
- Un carré peut se découper en quatre parts égales de plusieurs façons ; demandez « peux-tu en trouver une autre ? »
- La forme en L donne trois énigmes, de la plus facile à la vraiment corsée.
- Pour les plus grands : la même quantité de papier n'a pas toujours la même forme.
À lire aussi : Enseigner les fractions aux enfants : commencer par partager un gâteau