นับเส้นทางบนตาราง: ความท้าทายสำหรับเด็กที่ชอบคณิตศาสตร์

วาดตารางลงบนกระดาษ แต้มจุดหนึ่งจุดที่มุมซ้ายบน และอีกจุดที่มุมขวาล่าง มดตัวหนึ่งอยากเดินจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งตามเส้น และเดินได้แค่ไปทางขวาหรือลงล่าง มดเลือกเส้นทางที่ต่างกันได้กี่เส้นทาง

ฟังดูเป็นคำถามเล็ก ๆ แต่ที่จริงเป็นปริศนาที่โตไปพร้อมกับลูก ตอนแรกมีสองเส้นทาง ต่อมาหก แล้วก็ยี่สิบ และมีแบบรูปที่เป็นระเบียบซ่อนอยู่ข้างใต้ สิ่งที่ต้องใช้มีแค่กระดาษตารางกับดินสอสีไม่กี่แท่ง

กติกา

เดินตามเส้น ของตาราง จากมุมซ้ายบนไปมุมขวาล่าง
เดินได้สองแบบเท่านั้น ไปทางขวาหนึ่งก้าว หรือลงล่างหนึ่งก้าว ห้ามไปทางซ้าย ห้ามขึ้นบน
สองเส้นทางถือว่าต่างกัน เมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งก้าวที่ต่างกัน

ทำไมต้องไปทางขวาและลงล่างเท่านั้น ถ้าไม่มีกติกานี้ มดจะเดินวนไปวนมาได้ไม่รู้จบ และจะนับไม่มีวันเสร็จ

เริ่มจากเล็กมาก ๆ

หนึ่งช่อง มีสองเส้นทาง คือไปขวาแล้วลง หรือลงแล้วไปขวา ลากทับแต่ละเส้นทางด้วยสีที่ต่างกัน
สองช่องเรียงกัน ให้ลูกลองหาเอง มีสามเส้นทาง คำถามที่ช่วยได้คือ "มดเดินลงที่มุมไหน"
สองคูณสอง ให้ลูกเดาก่อน แล้วค่อยวาด มีหกเส้นทาง

เคล็ดลับที่ใช้ได้จริง คือวาดตารางเล็กแบบเดียวกันหลาย ๆ รูป แล้ววาดเส้นทางเดียวในแต่ละรูป หกเส้นทางในรูปเดียวจะยุ่งเหยิงเร็วมาก

นับอย่างไรไม่ให้หลง

ปัญหาเดิม ๆ ก็เกิดขึ้นที่นี่ด้วย คือลืมไปหนึ่งเส้นทาง หรือนับเส้นทางเดิมสองครั้ง มีเครื่องมือสองอย่างที่ช่วยได้

เขียนแต่ละเส้นทางด้วยลูกศร ก้าวละหนึ่งลูกศร ในตารางสองคูณสอง ทุกเส้นทางมีก้าวไปขวาสองก้าวและก้าวลงสองก้าว ดังนั้นแต่ละเส้นทางคือลูกศรสี่ตัวเรียงกัน

เขียนเรียงตามลำดับ เริ่มจากเส้นทางที่ขึ้นต้นด้วยก้าวไปขวา แล้วตามด้วยเส้นทางที่ขึ้นต้นด้วยก้าวลง

ขึ้นต้นด้วย →	ขึ้นต้นด้วย ↓
→ → ↓ ↓	↓ → → ↓
→ ↓ → ↓	↓ → ↓ →
→ ↓ ↓ →	↓ ↓ → →

สามกับสาม รวมหกเส้นทาง และเห็นได้ง่ายว่าไม่มีเส้นทางไหนตกหล่น เด็กหลายคนสังเกตเห็นว่าคอลัมน์ขวาคือคอลัมน์ซ้ายที่สลับลูกศรกัน

เคล็ดลับเขียนตัวเลข

สำหรับเด็กโต มีวิธีนับโดยไม่ต้องวาดทุกเส้นทาง ที่จุดตัดแต่ละจุด ให้เขียนว่ามดไปถึงจุดนั้นได้กี่วิธี

จุดตัดทุกจุดบนขอบบนและขอบซ้ายเขียนเลข 1 เพราะไปถึงได้วิธีเดียวคือเดินตรงไป
จุดตัดอื่น ๆ มดจะมาจากด้านบนหรือมาจากด้านซ้าย ดังนั้นตัวเลขของจุดนั้นคือตัวเลขด้านบนบวกตัวเลขด้านซ้าย
เติมตารางทีละแถว ตัวเลขที่มุมขวาล่างคือคำตอบ

สำหรับตารางสองคูณสอง จุดตัดทั้งเก้าจุดเป็นแบบนี้

1	1	1
1	2	3
1	3	6

เลข 6 ตรงกับรายการลูกศร สองวิธีที่ต่างกันให้คำตอบเดียวกัน แบบนี้จึงมั่นใจได้ ต่อไปให้ลูกลองตารางสามคูณสาม มุมสุดท้ายควรได้ 20

ทำให้ยากขึ้น

ตารางที่ยาวขึ้น กว้างสามช่อง สูงสองช่อง มี 10 เส้นทาง
ถนนปิดซ่อม ขีดฆ่าเส้นหนึ่งช่วง ในตารางสองคูณสอง ปิดก้าวแรกที่ไปทางขวา จะเหลือเพียงสามเส้นทางที่ขึ้นต้นด้วยการเดินลง
แวะระหว่างทาง มดต้องผ่านจุดตัดตรงกลางเพื่อเก็บเศษขนมปัง ไปถึงตรงกลางได้สองวิธี และเดินต่อจากตรงนั้นได้สองวิธี จึงมี 2 × 2 = 4 เส้นทาง
สลับบทบาท ลูกวาดตารางที่มีถนนปิด แล้วพ่อแม่เป็นคนนับ

อายุโดยประมาณ	สิ่งที่น่าลอง
6–7 ปี	หนึ่งช่อง แล้วสองช่องเรียงกัน ลากแต่ละเส้นทางด้วยสีของมันเอง
8–9 ปี	สองคูณสอง เขียนเส้นทางด้วยลูกศรและเรียงตามลำดับ
10 ปีขึ้นไป	เคล็ดลับเขียนตัวเลข สามคูณสาม ถนนปิดซ่อมและจุดแวะ

อายุเป็นเพียงค่าประมาณ และเด็กแต่ละคนไม่เหมือนกัน วันนี้ลูกอาจยังไม่สนใจ แต่อีกไม่กี่เดือนอาจสนุกกับมันก็ได้

ลูกกำลังฝึกอะไร

นับอย่างเป็นระบบ เพื่อไม่ให้ตกหล่นและไม่นับซ้ำ
สังเกตแบบรูปแล้วตรวจสอบ แทนที่จะเชื่อการเดาครั้งแรก
แก้โจทย์เดียวด้วยสองวิธี แล้วเทียบคำตอบ

ใน Dologi ปริศนา "ทางที่สั้นที่สุด" ในหัวข้อคณิตศาสตร์แสดงแผนที่ถนนเล็ก ๆ ลูกลองหลายเส้นทางจากบ้านไปต้นไม้ บวกจำนวนก้าวของแต่ละเส้นทางแล้วเปรียบเทียบ เป็นนิสัยเดียวกัน คือมองให้มากกว่าเส้นทางแรกที่นึกออก

สรุป

กติกาคือเดินตามเส้น ไปทางขวาและลงล่างเท่านั้น จากมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่ง
เริ่มจากหนึ่งช่อง (2 เส้นทาง) แล้วสองช่อง (3) แล้วสองคูณสอง (6)
เขียนเส้นทางด้วยลูกศรและเรียงตามลำดับเพื่อไม่ให้ตกหล่น
สำหรับเด็กโต ที่จุดตัดแต่ละจุดให้เขียนจำนวนวิธีไปถึง คือตัวเลขด้านบนบวกตัวเลขด้านซ้าย

อ่านเพิ่มเติม: จับคู่เสื้อกับกางเกงได้กี่แบบ? ชวนลูกนับการจัดชุด