Un carré magique est une grille de nombres où chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales ont la même somme. On dirait un exercice d'addition, mais pour en construire un, votre enfant doit deviner, tester, échanger et repérer peu à peu la régularité. C'est là que l'addition devient du raisonnement.
Cet article avance pas à pas : un triangle de nombres pour s'échauffer, pour les enfants d'environ 7 à 9 ans, puis le carré magique de 3×3 pour les 9 à 12 ans environ, avec des indices, les réponses et deux variantes. Les âges ne sont que des repères approximatifs ; chaque enfant est différent.
Fabriquez les cartes de nombres
Découpez neuf cartes carrées dans du carton fin et écrivez dessus les nombres de 1 à 9. Si votre enfant compte encore sur ses doigts, dessinez des points à la place des chiffres. Sur une feuille de papier, dessinez :
- un triangle avec une case à chaque coin et une case au milieu de chaque côté ;
- une grille de 3×3 dont les cases sont assez grandes pour une carte chacune.
Les cartes mobiles comptent plus qu'on ne le croit. Votre enfant peut les prendre, les poser et les échanger sans rien gommer, et il ose donc davantage essayer.
Pour s'échauffer : le triangle de nombres
Prenez les cartes de 1 à 6. Posez une carte dans chaque case du triangle pour que les trois nombres le long de chaque côté fassent 9 en tout.
- Indice 1 : un nombre placé dans un coin se trouve sur deux côtés à la fois, il est donc compté deux fois.
- Indice 2 : pour une petite somme, mettez les petits nombres dans les coins.
Réponse : les coins sont 1, 2 et 3. Entre 1 et 2 se place le 6, entre 2 et 3 le 4, et entre 3 et 1 le 5. Vérification : 1 + 6 + 2 = 9, 2 + 4 + 3 = 9, 3 + 5 + 1 = 9.
Poursuivez ensuite : avec les mêmes six cartes, peut-on faire que chaque côté fasse 10, 11 ou 12 ? Oui, les trois. Réponses : pour 10, les coins sont 1, 3, 5 ; pour 11, ils sont 2, 4, 6 ; pour 12, ils sont 4, 5, 6. Laissez votre enfant calculer les nombres du milieu.
Les plus grands peuvent chercher pourquoi : additionner les trois côtés, c'est additionner les six nombres (21) plus les trois nombres des coins une seconde fois. Si chaque côté fait 9, les trois côtés font 27, donc les coins font 6 en tout, c'est-à-dire 1, 2 et 3.
Le carré de 3×3 : trouver d'abord la somme
Prenez maintenant les neuf cartes. Disposez-les dans la grille de 3×3 pour que chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales aient la même somme.
Avant d'essayer quoi que ce soit, demandez à votre enfant : quelle est cette somme ? C'est l'étape que la plupart des gens sautent.
- Indice 1 : additionnez les neuf nombres.
- Indice 2 : ces neuf nombres sont répartis à parts égales sur trois lignes.
Réponse : 1 + 2 + … + 9 = 45. Les trois lignes ont la même somme, donc chaque ligne fait 45 ÷ 3 = 15. Une fois l'objectif connu, les essais ont une direction.
Qu'est-ce qui va au milieu ?
La case du milieu se trouve sur quatre lignes : la ligne du milieu, la colonne du milieu et les deux diagonales. Demandez à votre enfant de trouver le nombre qui va là.
- Indice 1 : essayez de former des paires de même somme : 1 avec 9, 2 avec 8…
- Indice 2 : les quatre paires font 10. Qu'ajoute-t-on pour arriver à 15 ?
Réponse : 5. Chaque ligne qui passe par le milieu est une paire de somme 10 avec le 5 entre les deux. Les plus grands peuvent le démontrer plus précisément : les quatre lignes qui passent par le milieu font 60 en tout. Cela compte chacun des neuf nombres une fois (45), plus le nombre du milieu trois fois de trop, donc le nombre du milieu est 15 ÷ 3 = 5.
Tester et échanger jusqu'à ce que ça marche
Mettez le 5 au milieu. Laissez votre enfant essayer le reste, avec seulement quelques conseils de votre part :
- Deux cases opposées de part et d'autre du milieu font 10 en tout. Si le 2 est dans un coin, le coin opposé est le 8.
- Essayez un autre coin. Si le 4 est dans le coin suivant, son opposé est le 6.
- Remplissez les bords par soustraction. La ligne du haut contient 2 et 6, donc la case du milieu de cette ligne est 15 − 8 = 7. Faites de même pour les autres bords.
- Vérifiez les huit lignes. Si l'une est fausse, échangez deux cartes et vérifiez de nouveau.
Une solution :
| Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 | |
|---|---|---|---|
| Ligne 1 | 2 | 7 | 6 |
| Ligne 2 | 9 | 5 | 1 |
| Ligne 3 | 4 | 3 | 8 |
Lignes : 2 + 7 + 6, 9 + 5 + 1 et 4 + 3 + 8 font toutes 15. Colonnes : 2 + 9 + 4, 7 + 5 + 3 et 6 + 1 + 8 aussi. Diagonales : 2 + 5 + 8 et 6 + 5 + 4.
Votre enfant trouvera peut-être un carré d'aspect différent. Essayez de tourner ou de retourner la feuille : avec les nombres de 1 à 9, tout carré magique de 3×3 est le même carré tourné ou retourné, huit façons en tout. Beaucoup d'enfants trouvent cela surprenant.
Deux variantes pour les plus grands
Variante 1 : les nombres de 2 à 10. Quelle est la somme de chaque ligne, et qu'est-ce qui va au milieu ? Réponse : les neuf nombres font 54 en tout, donc chaque ligne fait 18 et le milieu est 6. Il y a plus rapide : ajoutez 1 à chaque case du carré déjà résolu. Chaque ligne a trois cases, elle augmente donc d'exactement 3.
Variante 2 : terminer le carré. La ligne du haut commence par 4 et 9, et le milieu est 5. Votre enfant remplit les six autres cases.
Réponse :
| Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 | |
|---|---|---|---|
| Ligne 1 | 4 | 9 | 2 |
| Ligne 2 | 3 | 5 | 7 |
| Ligne 3 | 8 | 1 | 6 |
Comment y arriver : il manque 15 − 13 = 2 à la ligne du haut. La diagonale qui va de 4 à 5 demande un 6 dans le coin en bas à droite. La colonne du milieu, de 9 à 5, demande un 1. La diagonale qui va de 2 à 5 demande un 8. Les deux dernières cases viennent des colonnes : 15 − 4 − 8 = 3 et 15 − 2 − 6 = 7.
Quand votre enfant est à l'aise, inversez les rôles : il cache quelques cases d'un carré magique résolu et vous met au défi de les remplir.
Dans Dologi, le thème Maths propose une énigme « Additionne sur les lignes » : votre enfant écrit des nombres pour que chaque ligne fasse un total donné, le même genre de raisonnement que le triangle de nombres ci-dessus.
En bref
- Commencez par le triangle de nombres de 1 à 6, puis passez au carré de 3×3 avec 1 à 9.
- Trouvez d'abord la somme d'une ligne (15), puis le nombre du milieu (5), et les essais ont une direction.
- Des cartes mobiles facilitent les essais et les échanges ; vérifiez les huit lignes.
- Les plus grands peuvent s'entraîner à expliquer pourquoi, et cacher des cases pour vous mettre au défi.
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