Dessinez un quadrillage sur une feuille. Placez un point dans le coin en haut à gauche et un autre dans le coin en bas à droite. Une fourmi veut aller d'un point à l'autre en suivant les lignes, et elle ne peut avancer que vers la droite ou vers le bas. Combien de chemins différents peut-elle prendre ?
La question paraît petite. C'est en réalité une énigme qui grandit avec l'enfant : deux chemins d'abord, puis six, puis vingt, avec une régularité très nette cachée dessous. Il suffit de papier quadrillé et de quelques crayons de couleur.
Les règles
- On suit les lignes du quadrillage, du coin en haut à gauche au coin en bas à droite.
- Deux mouvements seulement : un pas vers la droite ou un pas vers le bas. Jamais vers la gauche, jamais vers le haut.
- Deux chemins sont différents s'ils diffèrent d'au moins un pas.
Pourquoi seulement à droite et en bas ? Sans cette règle, la fourmi pourrait tourner en rond, et on n'en finirait jamais de compter.
Commencer tout petit
- Un carreau. Il y a deux chemins : à droite puis en bas, ou en bas puis à droite. Repassez chacun d'une couleur.
- Deux carreaux côte à côte. Laissez votre enfant chercher. Il y a trois chemins. Une question qui aide : « À quel coin la fourmi descend-elle ? »
- Deux sur deux. Demandez d'abord une estimation, puis dessinez. Il y en a six.
Un conseil pratique : dessinez plusieurs fois le même petit quadrillage et tracez un seul chemin sur chaque copie. Six chemins sur un même dessin deviennent vite un sac de nœuds.
Compter sans se perdre
Le souci habituel revient ici aussi : un chemin est oublié, un autre est compté deux fois. Deux outils aident.
Écrire chaque chemin avec des flèches. Une flèche par pas. Sur le quadrillage de deux sur deux, chaque chemin compte deux pas à droite et deux pas vers le bas : c'est donc une rangée de quatre flèches.
Faire la liste dans l'ordre. D'abord les chemins qui commencent par un pas à droite, puis ceux qui commencent par un pas vers le bas :
| Commence par → | Commence par ↓ |
|---|---|
| → → ↓ ↓ | ↓ → → ↓ |
| → ↓ → ↓ | ↓ → ↓ → |
| → ↓ ↓ → | ↓ ↓ → → |
Trois et trois : six chemins, et l'on voit bien qu'il n'en manque aucun. Beaucoup d'enfants remarquent que la colonne de droite est celle de gauche avec les flèches échangées.
L'astuce des nombres
Pour les plus grands, il existe une façon de compter sans dessiner chaque chemin. À chaque croisement, on écrit de combien de façons la fourmi peut y arriver.
- Tous les croisements du bord du haut et du bord de gauche reçoivent un 1 : on n'y arrive qu'en allant tout droit.
- Pour atteindre un autre croisement, la fourmi vient soit du dessus, soit de la gauche. Son nombre est donc le nombre du dessus plus le nombre de gauche.
- On remplit le quadrillage ligne par ligne. Le nombre du coin en bas à droite est la réponse.
Pour le quadrillage de deux sur deux, les neuf croisements donnent ceci :
| 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
Le 6 correspond à la liste de flèches. Deux méthodes différentes, la même réponse : c'est ainsi qu'on est sûr de soi. Laissez maintenant votre enfant essayer le quadrillage de trois sur trois. Le dernier coin doit donner 20.
Corser le jeu
- Un quadrillage plus long. Trois carreaux de large sur deux de haut donnent 10 chemins.
- Route en travaux. Barrez un morceau de ligne. Sur le deux sur deux, fermez le tout premier pas vers la droite : il ne reste que les trois chemins qui commencent en descendant.
- Une étape obligatoire. La fourmi doit passer par le croisement du milieu pour ramasser une miette. Il y a deux façons d'aller au milieu et deux façons de continuer : 2 × 2 = 4 chemins.
- Échanger les rôles. Votre enfant dessine un quadrillage avec une route fermée et c'est vous qui comptez.
| Âge indicatif | À essayer |
|---|---|
| 6–7 ans | Un carreau, puis deux côte à côte ; chaque chemin dans sa couleur |
| 8–9 ans | Deux sur deux ; écrire les chemins avec des flèches et les lister dans l'ordre |
| 10 ans et plus | L'astuce des nombres ; trois sur trois ; routes en travaux et étapes obligatoires |
Ces âges ne sont que des repères, et chaque enfant est différent. Celui qui ne s'y intéresse pas aujourd'hui y prendra peut-être plaisir dans quelques mois.
Ce que votre enfant exerce
- Compter avec méthode, pour ne rien oublier et ne rien compter deux fois.
- Repérer une régularité et la vérifier, plutôt que de se fier à la première idée.
- Résoudre un problème de deux façons et comparer les réponses.
Dans Dologi, les énigmes « Le plus court chemin » du thème Maths montrent une petite carte de routes : l'enfant essaie plusieurs trajets de la maison à l'arbre, additionne les pas de chacun et compare. C'est la même habitude de regarder au-delà du premier chemin qui vient à l'esprit.
En résumé
- La règle : suivre les lignes, seulement vers la droite et vers le bas, d'un coin à l'autre.
- Commencez par un carreau (2 chemins), puis deux (3), puis deux sur deux (6).
- Écrivez les chemins avec des flèches et listez-les dans l'ordre pour n'en oublier aucun.
- Pour les plus grands : à chaque croisement, le nombre de façons d'arriver est le nombre du dessus plus celui de gauche.
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