Desenhe uma malha quadriculada em uma folha. Faça um ponto no canto superior esquerdo e outro no canto inferior direito. Uma formiga quer ir de um ponto ao outro pelas linhas, e só pode andar para a direita ou para baixo. Quantos caminhos diferentes ela pode fazer?
Parece uma pergunta pequena. Na verdade, é um desafio que cresce com a criança: primeiro dois caminhos, depois seis, depois vinte, com um padrão bem arrumado escondido por baixo. Basta papel quadriculado e alguns lápis de cor.
As regras
- Anda-se pelas linhas da malha, do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.
- Só existem dois movimentos: um passo para a direita ou um passo para baixo. Nunca para a esquerda, nunca para cima.
- Dois caminhos são diferentes quando têm pelo menos um passo diferente.
Por que só direita e baixo? Sem essa regra, a formiga poderia ficar dando voltas, e a contagem não acabaria nunca.
Comece bem pequeno
- Um quadradinho. São dois caminhos: direita e depois baixo, ou baixo e depois direita. Cubram cada um com uma cor.
- Dois quadradinhos lado a lado. Deixe a criança procurar. São três caminhos. Uma pergunta que ajuda: "Em qual canto a formiga desce?"
- Dois por dois. Peça um palpite primeiro e depois desenhem. São seis.
Uma dica prática: desenhem a mesma malha pequena várias vezes e marquem um caminho em cada cópia. Seis caminhos em um desenho só viram um emaranhado rapidinho.
Contar sem se perder
O problema de sempre aparece aqui também: um caminho é esquecido, outro é contado duas vezes. Duas ferramentas ajudam.
Escrever cada caminho com setas. Uma seta por passo. Na malha de dois por dois, todo caminho tem dois passos para a direita e dois para baixo, então cada caminho é uma fileira de quatro setas.
Listar em ordem. Primeiro os caminhos que começam com um passo para a direita, depois os que começam com um passo para baixo:
| Começa com → | Começa com ↓ |
|---|---|
| → → ↓ ↓ | ↓ → → ↓ |
| → ↓ → ↓ | ↓ → ↓ → |
| → ↓ ↓ → | ↓ ↓ → → |
Três e três: seis caminhos, e dá para ver que não falta nenhum. Muitas crianças percebem que a coluna da direita é a da esquerda com as setas trocadas.
O truque dos números
Para os maiores, existe um jeito de contar sem desenhar cada caminho. Em cada cruzamento, escreve-se de quantas maneiras a formiga consegue chegar ali.
- Todos os cruzamentos da borda de cima e da borda esquerda recebem 1: só se chega ali indo reto.
- Para chegar a qualquer outro cruzamento, a formiga vem de cima ou da esquerda. Então o número dele é o número de cima mais o número da esquerda.
- Preencham a malha linha por linha. O número do canto inferior direito é a resposta.
Na malha de dois por dois, os nove cruzamentos ficam assim:
| 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
O 6 bate com a lista de setas. Dois métodos diferentes, a mesma resposta: é assim que se tem certeza. Agora deixe a criança tentar a malha de três por três. O último canto deve dar 20.
Deixar mais difícil
- Uma malha mais comprida. Três quadradinhos de largura e dois de altura dão 10 caminhos.
- Rua em obras. Risquem um pedaço de linha. Na malha de dois por dois, fechem o primeiro passo para a direita: sobram só os três caminhos que começam descendo.
- Uma parada no caminho. A formiga precisa passar pelo cruzamento do meio para pegar uma migalha. São duas maneiras de chegar ao meio e duas de continuar dali: 2 × 2 = 4 caminhos.
- Troca de papéis. A criança desenha uma malha com uma rua fechada e você conta.
| Idade aproximada | O que experimentar |
|---|---|
| 6–7 | Um quadradinho e depois dois lado a lado; cada caminho com uma cor |
| 8–9 | Dois por dois; escrever os caminhos com setas e listar em ordem |
| A partir de 10 | O truque dos números; três por três; ruas em obras e paradas |
As idades são só uma referência, e cada criança é diferente. Quem não se interessa hoje pode gostar daqui a alguns meses.
O que a criança pratica
- Contar com organização, para nada ficar de fora e nada ser contado duas vezes.
- Notar um padrão e conferir, em vez de confiar no primeiro palpite.
- Resolver um problema de dois jeitos e comparar as respostas.
No Dologi, os desafios "Caminho mais curto" do tema Matemática mostram um pequeno mapa de caminhos: a criança testa várias rotas da casa até a árvore, soma os passos de cada uma e compara. É o mesmo hábito de olhar além do primeiro caminho que vem à cabeça.
Resumindo
- A regra: pelas linhas, só para a direita e para baixo, de canto a canto.
- Comecem com um quadradinho (2 caminhos), depois dois (3), depois dois por dois (6).
- Escrevam os caminhos com setas e listem em ordem para não faltar nenhum.
- Para os maiores: em cada cruzamento, o número de maneiras de chegar é o número de cima mais o da esquerda.
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