いくつかに分けた円。それぞれの部分に数が1つずつあって、1か所だけクエスチョンマークになっています。3つの角に数があって、真ん中にも数が1つある三角形。こうした「かくれた数を見つけよう」というパズルは、ドリルやパズルのページ、楽しいクイズによく出てきて、8〜12歳ごろのお子さんの多くが夢中になります。むずかしいのは計算ではありません。きまりがかくれていることです。パズルを作った人がどんな計算を使ったのか、お子さんは自分で見つけなければなりません。
この記事では、いちばんよくある3つの型を、私たちのオリジナル問題2問ずつと、最後に答えをつけて紹介します。どの答えよりも大切なのは、どの型にも通じる習慣です。計算を1つずつ試して、きまりがどの部分でも成り立ったときにだけ、空いているところを埋めること。
試し方：たす、ひく、かける、そして全部の部分をたしかめる
クエスチョンマークのある絵に出会ったら、お子さんは次の4つのステップで進められます。
- そろっている部分を1つ見つける。 それが、きまりを学ぶお手本です。真ん中の数がもう書いてある三角形、3つのますがうまっている1行、両方の数がわかっている向かい合う2つの部分、などです。
- かんたんな計算から順に試す。 全部をたす。大きい数から小さい数をひく。かける。2倍にする。どれもだめなら、2つの数をかけてから、3つ目をたしたりひいたりします。
- 2つ目、3つ目の部分でも、きまりをたしかめる。 お子さんがいちばん飛ばしやすいステップです。1つの部分だけでは、2つも3つもちがうきまりが当てはまることがよくあります。「このきまりは、どの部分でも成り立つかな？」と聞いてみましょう。
- どの部分にも当てはまったときだけ、空いているところを埋める。 1つでも合わない部分があれば、ステップ2にもどって、別の計算を試します。
試したきまりをメモ用紙に書いて、だめだったものを消していくようすすめてみてください。消した線でいっぱいのページは、うまくいっていない印ではなく、正しいやり方をしている印です。
型1：角の数から、真ん中の数ができる
どの三角形にも、角に3つの数（上、左下、右下）と、真ん中に1つの数があります。真ん中の数は、3つの角の数から、どの三角形でも同じきまりでできます。
パズル1（ウォームアップ）：
| 三角形 | 上 | 左下 | 右下 | 真ん中 |
|---|---|---|---|---|
| 1つ目 | 2 | 3 | 4 | 9 |
| 2つ目 | 5 | 1 | 6 | 12 |
| 3つ目 | 4 | 7 | 2 | ? |
パズル2（わなつき）：
| 三角形 | 上 | 左下 | 右下 | 真ん中 |
|---|---|---|---|---|
| 1つ目 | 1 | 2 | 4 | 7 |
| 2つ目 | 2 | 3 | 5 | 13 |
| 3つ目 | 4 | 3 | 6 | ? |
パズル2では、1つ目の三角形の角をたすと、ちょうど7になるので、きまりが見つかったと思ってしまいがちです。お子さんへのヒントは、「そのたし算のきまりを、2つ目の三角形で試してみよう」です。
型2：3×3の数のます
ますは9つあり、そのうちの1つがクエスチョンマークです。たいていは、各行の3つ目のますが最初の2つから決まりますが、きまりが列に沿って縦に続くこともあります。この記事では数のますだけを扱います。色や大きさが変わる絵だけでできたますは、また別の種類のパズルです。
パズル3（行で考える）：
| 1列目 | 2列目 | 3列目 | |
|---|---|---|---|
| 1行目 | 2 | 2 | 4 |
| 2行目 | 3 | 5 | 15 |
| 3行目 | 4 | 6 | ? |
パズル4（行でだめなら、列を試す）：
| 1列目 | 2列目 | 3列目 | |
|---|---|---|---|
| 1行目 | 6 | 4 | 5 |
| 2行目 | 3 | 5 | ? |
| 3行目 | 9 | 9 | 12 |
パズル4のヒントです。「1行目にきまりはあるかな？ なければ、1列目を上から下へ読んでみよう。」
型3：向かい合う部分がある円
円は、ケーキのように何等分かに切られています。この型では、きまりは多くの場合、中心をはさんで向かい合う2つの部分を結びつけます。ここでは円を描けないので、数は、いちばん上の部分から時計まわりに読みます。お子さんが紙に円をかくと、見やすくなります。
パズル5： 8つの部分がある円。時計まわりに読むと、3、5、2、7、6、10、4、?
パズル6： 6つの部分がある円。時計まわりに読むと、4、9、1、8、3、?
ヒントです。最初の部分と向かい合う部分は、円をちょうど半分まわったところにあります。8つの部分なら、1番目は5番目と、2番目は6番目と向かい合います。6つの部分なら、1番目は4番目と向かい合います。お子さんは、向かい合う組を1行ずつ書き出して、くらべてみることができます。
答えと、お子さんが自分で問題を作る方法
- パズル1：13。 真ん中の数は、角の数の合計です。2 + 3 + 4 = 9、5 + 1 + 6 = 12 なので、4 + 7 + 2 = 13。
- パズル2：14。 たし算は1つ目の三角形には合います（1 + 2 + 4 = 7）が、2つ目では合いません（2 + 3 + 5 = 10で、13ではありません）。両方に合うきまりは、下の2つの角をかけて、上の角をひくことです。2 × 4 − 1 = 7、3 × 5 − 2 = 13 なので、3 × 6 − 4 = 14。
- パズル3：24。 1行目は、たし算（2 + 2 = 4）にもかけ算（2 × 2 = 4）にも合います。2行目はかけ算にだけ合います。3 × 5 = 15。だから 4 × 6 = 24。10という答えは、1行目で止まってしまった人の答えです。
- パズル4：7。 行にはきまりが共通していませんが、どの列にもあります。上のますと真ん中のますをたすと、下のますになります。6 + 3 = 9、4 + 5 = 9 なので、5 + ? = 12 から、7になります。
- パズル5：14。 向かい合う組は、3と6、5と10、2と4、7と?です。最初の組は「3をたす」にも「2倍」にも合いますが、2つ目の組（5と10）は2倍にだけ合います。7の2倍は14。
- パズル6：11。 向かい合う組は、4と8、9と3、1と?です。どの組も合計が12になるので、かくれた数は11です。
お子さんが解けたら、今度はお子さんに、あなたのための問題を作ってもらいましょう。やり方はこうです。
- 先にきまりを決めて、見えないところに書いておきます。たとえば「下の2つの角をかけて、上の角をたす」。
- そのきまりに合う、そろった部分を少なくとも2つかき、もう1つはクエスチョンマークにします。
- わたす前に、「ほかのきまりも、どの部分にも当てはまらないかな？」と聞きます。当てはまるなら、きまりが1つだけになるように、数を1つ変えます。
この最後のステップで、お子さんは、パズルに少なくとも2つのそろった例が必要な理由がわかります。きまりのたしかめ方を本当に理解するのは、そのときです。あえて、最初の部分にだけ合うきまりで答えて、お子さんにまちがいを指摘してもらうのもよいでしょう。
Dologiでも、テーマ「パターン」のパズル「つぎの かず」が、まさにこの習慣を練習します。お子さんは数の列からきまりを見つけ、答えを選ぶ前に、1つずつたしかめます。
まとめ
- 「かくれた数」パズルは、たいてい3つの型です。角に数がある三角形、3×3のます、向かい合う部分がある円。
- たし算、ひき算、かけ算、2倍を順に試し、どれもだめなら2つの計算を組み合わせます。
- 1つの部分には、いくつものきまりが当てはまることがよくあります。空いているところを埋める前に、「このきまりは、どの部分でも成り立つかな？」と聞きましょう。
- お子さんに自分でパズルを作ってもらい、答えが1つだけになっているか確認してもらいましょう。
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