종이에 격자를 그립니다. 왼쪽 위 모서리에 점 하나, 오른쪽 아래 모서리에 점 하나를 찍습니다. 개미가 선을 따라 한 점에서 다른 점으로 가려고 하는데, 오른쪽이나 아래로만 갈 수 있습니다. 서로 다른 길은 몇 가지일까요?
작은 질문처럼 들립니다. 하지만 아이와 함께 자라는 퍼즐입니다. 처음에는 두 가지, 다음에는 여섯 가지, 그다음에는 스무 가지가 되고, 그 아래에는 깔끔한 규칙이 숨어 있습니다. 모눈종이와 색연필 몇 자루면 충분합니다.
규칙
- 격자의 선을 따라 걷습니다. 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리까지.
- 움직임은 두 가지뿐입니다. 오른쪽으로 한 걸음, 또는 아래로 한 걸음. 왼쪽이나 위로는 갈 수 없습니다.
- 한 걸음이라도 다르면 다른 길입니다.
왜 오른쪽과 아래로만 갈까요? 이 규칙이 없으면 개미가 빙빙 돌 수 있어서 세는 일이 끝나지 않습니다.
아주 작게 시작하기
- 한 칸. 길은 두 가지입니다. 오른쪽으로 갔다가 아래로, 또는 아래로 갔다가 오른쪽으로. 길마다 다른 색으로 따라 그립니다.
- 옆으로 두 칸. 아이가 찾아보게 합니다. 세 가지입니다. 도움이 되는 질문은 "개미가 어느 모서리에서 내려갈까?"
- 2×2. 먼저 짐작하게 한 다음 그려 봅니다. 여섯 가지입니다.
쓸모 있는 요령이 있습니다. 같은 작은 격자를 여러 번 그리고, 격자 하나에 길을 하나만 그리는 것입니다. 그림 하나에 길 여섯 개를 그리면 금세 엉킵니다.
헷갈리지 않고 세기
여기서도 늘 겪는 문제가 나옵니다. 길 하나를 빠뜨리거나 같은 길을 두 번 세는 것입니다. 두 가지 도구가 도움이 됩니다.
길을 화살표로 적기. 한 걸음에 화살표 하나. 2×2 격자에서는 어느 길이든 오른쪽 두 걸음과 아래 두 걸음이므로, 길 하나는 화살표 네 개가 늘어선 줄입니다.
차례대로 늘어놓기. 먼저 오른쪽 한 걸음으로 시작하는 길, 다음에 아래 한 걸음으로 시작하는 길.
| →로 시작 | ↓로 시작 |
|---|---|
| → → ↓ ↓ | ↓ → → ↓ |
| → ↓ → ↓ | ↓ → ↓ → |
| → ↓ ↓ → | ↓ ↓ → → |
셋과 셋, 모두 여섯 가지이고 빠진 것이 없다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 오른쪽 줄은 왼쪽 줄의 화살표를 서로 바꾼 것이라는 점을 알아차리는 아이도 많습니다.
수를 적어 넣는 방법
큰 아이에게는 길을 하나하나 그리지 않고 세는 방법이 있습니다. 교차점마다 개미가 그곳에 가는 방법의 수를 적습니다.
- 위쪽 가장자리와 왼쪽 가장자리의 교차점에는 모두 1을 적습니다. 곧장 가는 방법 하나뿐이기 때문입니다.
- 다른 교차점에는 개미가 위에서 오거나 왼쪽에서 옵니다. 그래서 그 수는 위의 수에 왼쪽의 수를 더한 것입니다.
- 한 줄씩 채워 나갑니다. 오른쪽 아래 모서리의 수가 답입니다.
2×2 격자에서 아홉 개의 교차점은 이렇게 됩니다.
| 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
6은 화살표 목록과 맞습니다. 서로 다른 두 방법으로 같은 답이 나오면 마음을 놓을 수 있습니다. 이제 아이가 3×3 격자에 도전하게 해 보세요. 마지막 모서리는 20이 되어야 합니다.
더 어렵게 만들기
- 더 긴 격자. 가로 세 칸, 세로 두 칸이면 10가지.
- 공사 중인 길. 선 한 토막을 지웁니다. 2×2 격자에서 맨 처음 오른쪽 한 걸음을 막으면 아래로 시작하는 세 가지 길만 남습니다.
- 들렀다 가기. 개미가 가운데 교차점을 지나며 빵 부스러기를 주워야 합니다. 가운데까지 두 가지, 거기서부터 두 가지이므로 2 × 2 = 4가지.
- 역할 바꾸기. 아이가 막힌 길이 있는 격자를 그리고, 부모가 셉니다.
| 대략의 나이 | 해 볼 것 |
|---|---|
| 6~7세 | 한 칸, 다음에 옆으로 두 칸. 길마다 다른 색으로 따라 그리기 |
| 8~9세 | 2×2. 길을 화살표로 적고 차례대로 늘어놓기 |
| 10세부터 | 수를 적어 넣는 방법. 3×3. 공사 중인 길과 들렀다 가기 |
나이는 대략의 기준일 뿐이고 아이마다 다릅니다. 오늘은 관심이 없어도 몇 달 뒤에는 즐길 수 있습니다.
아이가 연습하는 것
- 차례대로 세기. 빠뜨리지 않고, 두 번 세지 않도록.
- 규칙을 찾고 확인하기. 첫 짐작을 그대로 믿지 않기.
- 한 문제를 두 가지 방법으로 풀고 답을 견주어 보기.
Dologi의 수학 주제에 있는 "가장 짧은 길" 퍼즐에는 작은 길 지도가 나옵니다. 아이는 집에서 나무까지 가는 길을 여러 가지로 해 보고, 길마다 걸음 수를 더해서 비교합니다. 처음 떠오른 길 하나만 보지 않는 같은 습관입니다.
정리하면
- 규칙은 선을 따라, 오른쪽과 아래로만, 모서리에서 모서리까지.
- 한 칸(2가지), 옆으로 두 칸(3가지), 2×2(6가지) 순서로 시작합니다.
- 길을 화살표로 적고 차례대로 늘어놓으면 빠지는 것이 없습니다.
- 큰 아이에게는 교차점마다 가는 방법의 수를 적는 방법을. 위의 수 더하기 왼쪽의 수입니다.