타일 바닥, 벽돌 벽, 벌집을 보세요. 모양들이 완벽하게 맞물려 있습니다. 빈틈도 없고 겹치지도 않지요. 이번에는 둥근 타일로 바닥을 까는 모습을 상상해 보세요. 안 됩니다. 곳곳에 작은 빈틈이 생기니까요.
어떤 모양이 혼자서 평평한 면을 덮을 수 있을까요? 그리고 왜 그럴까요? 종이와 가위, 약간의 끈기만 있으면 아이가 스스로 알아낼 수 있습니다. 이렇게 면을 덮는 것을 테셀레이션, 우리말로 평면 채우기라고 합니다.
평면 채우기란
어떤 모양을 여러 개 써서 평면을 이렇게 덮을 수 있으면, 그 모양으로 평면을 채울 수 있다고 합니다.
- 조각 사이에 빈틈이 없고,
- 겹치지 않으며(다른 조각 위에 올라가지 않음),
- 모든 방향으로 원하는 만큼 계속 이어 갈 수 있습니다.
체스판의 칸이 가장 쉬운 예이고, 벽의 벽돌도 그렇습니다.
여러 모양 시험해 보기
모양마다 두꺼운 종이로 열 개 이상 오리거나, 본을 대고 그리세요. 그다음 종이 한 장을 덮어 봅니다.
| 모양 | 빈틈없이 덮을까? |
|---|---|
| 정사각형 | 된다 |
| 직사각형 | 된다(줄 맞춰서도, 벽돌처럼 엇갈려서도) |
| 정삼각형 | 된다(위아래 번갈아 놓기) |
| 정육각형 | 된다(벌집처럼) |
| 원 | 안 된다(원 세 개 사이마다 빈틈) |
| 정오각형 | 안 된다(빈틈이나 겹침이 생김) |
| 정팔각형 | 혼자서는 안 되지만, 빈틈에 작은 정사각형을 넣으면 된다 |
시험하기 전에 아이에게 매번 예상해 보게 하세요. "이건 될 것 같아?"
되는 모양과 안 되는 모양의 이유
비밀은 꼭짓점에 있습니다. 타일들이 한 점에 모이는 곳에서는 꼭짓점의 각이 그 점 둘레를 꼭 한 바퀴 채워야 합니다. 모자라도, 넘쳐도 안 됩니다.
- 정사각형: 꼭짓점 네 개가 한 점 둘레에 꼭 맞습니다.
- 정삼각형: 여섯 개가 꼭 맞습니다.
- 정육각형: 세 개가 꼭 맞습니다.
- 정오각형: 세 개면 빈틈이 생기고, 네 개면 겹칩니다. 절대 꼭 맞지 않아요.
각도를 몰라도 눈으로 볼 수 있습니다. 한 점 둘레에 타일을 놓아 보고, 마지막 타일이 꼭 맞는지, 빈틈이 생기는지, 겹치는지 살펴보세요.
타일 무늬 찾기
무엇을 찾아야 하는지 알면 평면 채우기는 어디에나 있습니다.
- 욕실과 부엌 바닥. 정사각형, 직사각형, 가끔은 팔각형과 작은 정사각형.
- 벽돌 벽과 보도. 엇갈린 줄의 직사각형이나 지그재그.
- 벌집. 육각형.
- 천과 포장지. 되풀이되는 무늬 중 많은 것이 사실은 평면 채우기입니다.
찾은 것을 사진으로 찍거나 그려 두고, 종이 모양으로 똑같이 따라 놓아 보세요.
여전히 맞물리는 나만의 타일 만들기
큰 아이에게 좋은 활동입니다.
- 두꺼운 종이로 정사각형을 준비해요.
- 한 변에서 구불구불한 조각을 오려 내요.
- 그 조각을 반대쪽 변으로 똑바로 옮겨 테이프로 붙여요.
- 새 모양을 종이에 여러 번 대고 그려요. 여전히 빈틈없이 맞물립니다.
눈, 지느러미, 깃털을 그려 넣으면 물고기 떼나 새 떼가 됩니다.
나이별 아이디어
나이는 대략적인 기준일 뿐이고, 아이마다 다릅니다.
- 4~5세 무렵: 정사각형 메모지로 종이 덮기, 종이 원과 비교하기, 집에서 정사각형 타일 찾기.
- 6~7세 무렵: 삼각형과 육각형 시험하기, 시험 전에 예상하기, 사진이나 그림으로 타일 무늬 찾기.
- 8세 무렵부터: 꼭짓점 규칙 설명하기, 오각형과 팔각형 시험하기, 옮겨 붙인 타일 만들기.
Dologi의 공간 주제에는 "빈칸 채우기" 퍼즐이 있습니다. 블록을 돌려 판 위로 옮기며 빈칸을 빈틈도 겹침도 없이 모두 채우는 퍼즐로, 작은 판 위의 평면 채우기라고 할 수 있어요.
정리하면
- 어떤 모양을 여러 개 써서 빈틈도 겹침도 없이 면을 덮을 수 있으면 평면을 채울 수 있습니다.
- 정사각형, 삼각형, 육각형, 직사각형은 되고, 원과 정오각형은 안 됩니다.
- 각 점에 모이는 꼭짓점이 정확히 한 바퀴를 채워야 합니다.
- 주변에서 타일 무늬를 찾고, 여전히 맞물리는 나만의 타일을 만들어 보세요.
함께 읽기: 아이와 칠교놀이: 일곱 조각으로 동물과 집 만들기