Ein magisches Quadrat ist ein Zahlengitter, in dem jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Es sieht aus wie eine Rechenübung, aber um eines zu bauen, muss Ihr Kind vermuten, ausprobieren, tauschen und nach und nach das Muster erkennen. Genau da wird aus Addieren ein Nachdenken.
Dieser Beitrag geht Schritt für Schritt vor: ein Zahlendreieck zum Aufwärmen für Kinder von etwa 7 bis 9, danach das magische 3×3-Quadrat für etwa 9 bis 12, mit Hinweisen, Lösungen und zwei Varianten. Die Altersangaben sind nur grobe Richtwerte; jedes Kind ist anders.
Zahlenkarten basteln
Schneiden Sie neun quadratische Karten aus dünner Pappe aus und schreiben Sie die Zahlen von 1 bis 9 darauf. Zählt Ihr Kind noch mit den Fingern, malen Sie statt der Ziffern Punkte. Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier:
- ein Dreieck mit je einem Kästchen an jeder Ecke und in der Mitte jeder Seite;
- ein 3×3-Gitter mit Feldern, die groß genug für je eine Karte sind.
Lose Karten sind wichtiger, als man denkt. Ihr Kind kann sie aufnehmen, hinlegen und tauschen, ohne etwas auszuradieren, und probiert deshalb lieber aus.
Zum Aufwärmen: das Zahlendreieck
Nehmen Sie die Karten 1 bis 6. Legen Sie auf jedes Kästchen des Dreiecks eine Karte, sodass die drei Zahlen entlang jeder Seite zusammen 9 ergeben.
- Hinweis 1: Eine Zahl in der Ecke liegt auf zwei Seiten zugleich und wird deshalb zweimal gezählt.
- Hinweis 2: Bei einer kleinen Summe gehören die kleinen Zahlen in die Ecken.
Lösung: In den Ecken stehen 1, 2 und 3. Zwischen 1 und 2 steht die 6, zwischen 2 und 3 die 4 und zwischen 3 und 1 die 5. Probe: 1 + 6 + 2 = 9, 2 + 4 + 3 = 9, 3 + 5 + 1 = 9.
Dann geht es weiter: Kann man mit denselben sechs Karten jede Seite auf 10, 11 oder 12 bringen? Ja, alle drei. Lösungen: Für 10 stehen in den Ecken 1, 3, 5; für 11 sind es 2, 4, 6; für 12 sind es 4, 5, 6. Lassen Sie Ihr Kind die Zahlen in der Mitte der Seiten selbst ausrechnen.
Ältere Kinder können nach dem Warum suchen: Zählt man die drei Seiten zusammen, hat man alle sechs Zahlen (21) und die drei Eckzahlen ein zweites Mal. Ist jede Seite 9, ergeben die drei Seiten 27, also müssen die Ecken zusammen 6 ergeben, und das sind 1, 2 und 3.
Das 3×3-Quadrat: erst die Summe finden
Jetzt nehmen Sie alle neun Karten. Legen Sie sie so ins 3×3-Gitter, dass jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen dieselbe Summe haben.
Bevor Ihr Kind etwas ausprobiert, fragen Sie: Wie groß ist diese Summe? Diesen Schritt überspringen die meisten.
- Hinweis 1: Zählen Sie alle neun Zahlen zusammen.
- Hinweis 2: Diese neun Zahlen verteilen sich gleichmäßig auf drei Zeilen.
Lösung: 1 + 2 + … + 9 = 45. Die drei Zeilen haben dieselbe Summe, also ist jede Zeile 45 ÷ 3 = 15. Wenn das Ziel feststeht, hat das Ausprobieren eine Richtung.
Was gehört in die Mitte?
Das mittlere Feld liegt auf vier Linien: der mittleren Zeile, der mittleren Spalte und beiden Diagonalen. Bitten Sie Ihr Kind, die Zahl zu finden, die dorthin gehört.
- Hinweis 1: Bilden Sie Paare mit gleicher Summe: 1 mit 9, 2 mit 8 …
- Hinweis 2: Alle vier Paare ergeben 10. Was muss man dazuzählen, um auf 15 zu kommen?
Lösung: 5. Jede Linie durch die Mitte besteht aus einem Paar mit der Summe 10 und der 5 dazwischen. Ältere Kinder können es genauer beweisen: Die vier Linien durch die Mitte ergeben zusammen 60. Darin ist jede der neun Zahlen einmal enthalten (45), die Zahl in der Mitte aber noch dreimal zusätzlich, also ist die Zahl in der Mitte 15 ÷ 3 = 5.
Testen und tauschen, bis es klappt
Legen Sie die 5 in die Mitte. Lassen Sie Ihr Kind den Rest probieren und geben Sie nur ein paar Tipps:
- Zwei Felder, die einander durch die Mitte gegenüberliegen, ergeben zusammen 10. Liegt die 2 in einer Ecke, liegt in der gegenüberliegenden Ecke die 8.
- Probieren Sie eine andere Ecke. Liegt die 4 in der nächsten Ecke, liegt gegenüber die 6.
- Die Randfelder rechnet man durch Abziehen aus. In der oberen Zeile stehen 2 und 6, also steht in der Mitte der Zeile 15 − 8 = 7. Ebenso bei den anderen Rändern.
- Prüfen Sie alle acht Linien. Stimmt eine nicht, tauschen Sie ein Paar und prüfen Sie noch einmal.
Eine Lösung:
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 | |
|---|---|---|---|
| Zeile 1 | 2 | 7 | 6 |
| Zeile 2 | 9 | 5 | 1 |
| Zeile 3 | 4 | 3 | 8 |
Zeilen: 2 + 7 + 6, 9 + 5 + 1 und 4 + 3 + 8 ergeben alle 15. Spalten: 2 + 9 + 4, 7 + 5 + 3 und 6 + 1 + 8 ebenso. Diagonalen: 2 + 5 + 8 und 6 + 5 + 4.
Vielleicht findet Ihr Kind ein Quadrat, das anders aussieht. Drehen oder wenden Sie das Blatt: Mit den Zahlen 1 bis 9 ist jedes magische 3×3-Quadrat dasselbe Quadrat, gedreht oder gespiegelt, insgesamt acht Möglichkeiten. Viele Kinder finden das überraschend.
Zwei Varianten für ältere Kinder
Variante 1: die Zahlen 2 bis 10. Welche Summe hat jede Zeile, und was gehört in die Mitte? Lösung: Die neun Zahlen ergeben zusammen 54, also ist jede Zeile 18 und die Mitte 6. Es geht auch schneller: Zählen Sie zu jedem Feld des schon gelösten Quadrats 1 dazu. Jede Linie hat drei Felder, also wächst sie genau um 3.
Variante 2: das Quadrat vervollständigen. Die obere Zeile beginnt mit 4 und 9, in der Mitte steht die 5. Ihr Kind füllt die übrigen sechs Felder aus.
Lösung:
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 | |
|---|---|---|---|
| Zeile 1 | 4 | 9 | 2 |
| Zeile 2 | 3 | 5 | 7 |
| Zeile 3 | 8 | 1 | 6 |
So kommt man darauf: In der oberen Zeile fehlt 15 − 13 = 2. Die Diagonale von der 4 über die 5 braucht unten rechts die 6. Die mittlere Spalte von der 9 über die 5 braucht die 1. Die Diagonale von der 2 über die 5 braucht die 8. Die letzten beiden ergeben sich aus den Spalten: 15 − 4 − 8 = 3 und 15 − 2 − 6 = 7.
Wenn Ihr Kind sicher ist, tauschen Sie die Rollen: Es deckt ein paar Felder eines gelösten magischen Quadrats ab und fordert Sie heraus, sie auszufüllen.
In Dologi gibt es im Thema „Mathe“ ein Rätsel „Linien addieren“: Ihr Kind trägt Zahlen so ein, dass jede Linie eine vorgegebene Summe ergibt, dieselbe Art zu denken wie beim Zahlendreieck oben.
Kurz gesagt
- Beginnen Sie mit dem Zahlendreieck aus 1 bis 6 und gehen Sie dann zum 3×3-Quadrat mit 1 bis 9 über.
- Finden Sie zuerst die Zeilensumme (15), dann die Zahl in der Mitte (5), und das Ausprobieren hat eine Richtung.
- Mit losen Karten lässt sich leicht probieren und tauschen; prüfen Sie alle acht Linien.
- Ältere Kinder können üben zu erklären, warum, und selbst Felder abdecken, um Sie herauszufordern.
Ebenfalls lesenswert: Obst-Mathe-Rätsel für Kinder von 7 bis 10: Welche Zahl steckt in jedem Obst, Schritt für Schritt gelöst