Regardez un sol carrelé, un mur de briques ou un rayon de miel. Les formes s'emboîtent parfaitement : sans trou, sans chevauchement. Imaginez maintenant un sol en carreaux ronds. Impossible : il y aurait de petits trous partout.
Quelles formes peuvent recouvrir une surface plane à elles seules, et pourquoi ? Les enfants peuvent le découvrir eux-mêmes avec du papier, des ciseaux et un peu de patience. Recouvrir ainsi une surface, c'est faire un pavage.
Ce qu'est un pavage
Une forme pave le plan quand de nombreuses copies peuvent recouvrir une surface plane :
- sans trou entre les pièces,
- sans chevauchement (aucune pièce sur une autre),
- aussi loin qu'on veut dans toutes les directions.
Les cases d'un échiquier en sont l'exemple le plus simple. Les briques d'un mur en sont un autre.
Tester des formes
Découpez au moins dix copies de chaque forme dans du carton, ou tracez-les à partir d'un gabarit. Puis essayez de recouvrir une feuille :
| Forme | Recouvre sans trou ? |
|---|---|
| Carré | Oui |
| Rectangle | Oui, en rangées ou comme des briques |
| Triangle équilatéral | Oui, pointe en haut et pointe en bas en alternance |
| Hexagone (six côtés égaux) | Oui, comme un rayon de miel |
| Cercle | Non, un trou entre chaque groupe de trois cercles |
| Pentagone (cinq côtés égaux) | Non, des trous ou des chevauchements apparaissent |
| Octogone (huit côtés égaux) | Pas seul, mais oui avec de petits carrés dans les trous |
Avant chaque essai, laissez votre enfant prédire : « Tu penses que celle-ci va marcher ? »
Pourquoi certaines formes s'emboîtent et d'autres non
Le secret est dans les coins. Là où les carreaux se rejoignent en un point, leurs coins doivent remplir un tour complet autour de ce point, sans manque ni surplus.
- Carrés : quatre coins tiennent autour d'un point.
- Triangles : six coins.
- Hexagones : trois coins.
- Pentagones : avec trois il reste un trou, avec quatre ça chevauche. Ils ne tombent jamais juste.
Pas besoin de mesurer des angles pour le voir. Placez des carreaux autour d'un point et regardez : le dernier tient-il, laisse-t-il un trou, ou passe-t-il par-dessus ?
À la chasse aux pavages
Quand votre enfant sait quoi chercher, les pavages sont partout :
- Sols de salle de bains et de cuisine. Carrés, rectangles, parfois des octogones avec de petits carrés.
- Murs de briques et trottoirs. Des rectangles en rangées décalées, ou en chevrons.
- Rayons de miel. Des hexagones.
- Tissus et papier cadeau. Beaucoup de motifs répétés sont des pavages déguisés.
Prenez des photos ou dessinez ce que vous trouvez, puis essayez de reproduire le motif avec des formes en papier.
Inventer un carreau qui s'emboîte encore
Une jolie astuce pour les plus grands :
- Partez d'un carré de carton.
- Découpez un morceau ondulé sur un côté.
- Faites glisser ce morceau tout droit et scotchez-le sur le côté opposé.
- Tracez le contour de la nouvelle forme plusieurs fois sur une feuille. Elle s'emboîte toujours, sans trou.
Ajoutez des yeux, des nageoires ou des plumes, et vos carreaux deviennent un banc de poissons ou une volée d'oiseaux.
Idées selon l'âge
Les âges sont indicatifs ; chaque enfant est différent.
- Vers 4–5 ans : recouvrir une feuille de notes adhésives carrées, comparer avec des cercles en papier, trouver des carreaux carrés à la maison.
- Vers 6–7 ans : tester les triangles et les hexagones, prédire avant d'essayer, une chasse aux pavages en photos ou dessins.
- À partir de 8 ans environ : expliquer la règle des coins, essayer pentagones et octogones, inventer un carreau glissé.
Dans Dologi, le thème Espace propose des énigmes « Remplis tout » : l'enfant tourne des blocs et les fait glisser sur un plateau jusqu'à remplir toutes les cases vides, sans trou ni chevauchement. C'est un pavage sur un petit plateau.
En bref
- Une forme pave le plan quand ses copies recouvrent une surface sans trou ni chevauchement.
- Carrés, triangles, hexagones et rectangles y arrivent ; cercles et pentagones réguliers, non.
- Les coins qui se rejoignent en chaque point doivent remplir exactement un tour.
- Chassez les pavages autour de vous et inventez votre propre carreau qui s'emboîte encore.
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